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spohnIdeal -- compute the ideal of the Spohn variety of a given game

Description

It is crucial that the formats in PR and X match up. The Spohn ideal $I_X$ is the ideal defining the Spohn variety of a game $X$, which contains the dependency equilibria of the game $X$. Its generators are given by the $2\times 2$ minors of the Spohn matrices. This function uses the function spohnMatrices to compute the Spohn matrices of the given game.

i1 : Di = {2,2,3};
i2 : PR = probabilityRing(Di);
i3 : X = randomGame(Di);
i4 : I = spohnIdeal(PR,X)

              19                       31                        1       
o4 = ideal (- --p         p          - --p         p          - --p      
               5 {0, 0, 0} {1, 0, 0}   20 {0, 0, 1} {1, 0, 0}   20 {0, 0,
     ------------------------------------------------------------------------
                    21                        7                       13    
       p          - --p         p          - --p         p          - --p   
     2} {1, 0, 0}   20 {0, 1, 0} {1, 0, 0}   90 {0, 1, 1} {1, 0, 0}    6 {0,
     ------------------------------------------------------------------------
                        1                       19                      
          p          + --p         p          + --p         p          +
     0, 0} {1, 0, 1}   12 {0, 0, 1} {1, 0, 1}   12 {0, 0, 2} {1, 0, 1}  
     ------------------------------------------------------------------------
      7                       14                       49                    
     --p         p          + --p         p          + --p         p         
     12 {0, 1, 0} {1, 0, 1}    9 {0, 1, 1} {1, 0, 1}   30 {0, 1, 2} {1, 0, 1}
     ------------------------------------------------------------------------
       5                       19                       25                 
     + -p         p          + --p         p          + --p         p      
       2 {0, 0, 0} {1, 0, 2}    4 {0, 0, 1} {1, 0, 2}    4 {0, 0, 2} {1, 0,
     ------------------------------------------------------------------------
          21                       56                       63              
        + --p         p          + --p         p          + --p         p   
     2}    4 {0, 1, 0} {1, 0, 2}    9 {0, 1, 1} {1, 0, 2}   10 {0, 1, 2} {1,
     ------------------------------------------------------------------------
             57                       51                        9       
           - --p         p          - --p         p          - --p      
     0, 2}   14 {0, 0, 0} {1, 1, 0}   28 {0, 0, 1} {1, 1, 0}   28 {0, 0,
     ------------------------------------------------------------------------
                    37                       22                       19    
       p          - --p         p          - --p         p          - --p   
     2} {1, 1, 0}   28 {0, 1, 0} {1, 1, 0}   63 {0, 1, 1} {1, 1, 0}   70 {0,
     ------------------------------------------------------------------------
                       51                       39                      
          p          - --p         p          - --p         p          +
     1, 2} {1, 1, 0}   14 {0, 0, 0} {1, 1, 1}   28 {0, 0, 1} {1, 1, 1}  
     ------------------------------------------------------------------------
      3                       25                        5                    
     --p         p          - --p         p          + --p         p         
     28 {0, 0, 2} {1, 1, 1}   28 {0, 1, 0} {1, 1, 1}   63 {0, 1, 1} {1, 1, 1}
     ------------------------------------------------------------------------
       11                       3                       15                 
     + --p         p          + -p         p          + --p         p      
       70 {0, 1, 2} {1, 1, 1}   2 {0, 0, 0} {1, 1, 2}    4 {0, 0, 1} {1, 1,
     ------------------------------------------------------------------------
          21                       17                       47              
        + --p         p          + --p         p          + --p         p   
     2}    4 {0, 0, 2} {1, 1, 2}    4 {0, 1, 0} {1, 1, 2}    9 {0, 1, 1} {1,
     ------------------------------------------------------------------------
             53                        23                       13       
           + --p         p         , - --p         p          + --p      
     1, 2}   10 {0, 1, 2} {1, 1, 2}    28 {0, 0, 0} {0, 1, 0}   63 {0, 0,
     ------------------------------------------------------------------------
                     9                       15                       43    
       p          + --p         p          + --p         p          + --p   
     1} {0, 1, 0}   70 {0, 0, 2} {0, 1, 0}    4 {0, 0, 0} {0, 1, 1}    9 {0,
     ------------------------------------------------------------------------
                       47                        5                      
          p          + --p         p          - --p         p          +
     0, 1} {0, 1, 1}   10 {0, 0, 2} {0, 1, 1}   36 {0, 0, 0} {0, 1, 2}  
     ------------------------------------------------------------------------
     8                       73                       67                    
     -p         p          + --p         p          - --p         p         
     9 {0, 0, 1} {0, 1, 2}   90 {0, 0, 2} {0, 1, 2}    7 {0, 1, 0} {1, 0, 0}
     ------------------------------------------------------------------------
                               80                       15                 
     - 5p         p          - --p         p          - --p         p      
         {0, 1, 1} {1, 0, 0}    9 {0, 1, 2} {1, 0, 0}   14 {0, 1, 0} {1, 0,
     ------------------------------------------------------------------------
          7                        7                       25              
        + -p         p          - --p         p          - --p         p   
     1}   2 {0, 1, 1} {1, 0, 1}   18 {0, 1, 2} {1, 0, 1}   56 {0, 1, 0} {1,
     ------------------------------------------------------------------------
             33                       17                        5       
           + --p         p          + --p         p          - --p      
     0, 2}    8 {0, 1, 1} {1, 0, 2}   72 {0, 1, 2} {1, 0, 2}   12 {0, 0,
     ------------------------------------------------------------------------
                    11                        8                       55    
       p          + --p         p          + --p         p          - --p   
     0} {1, 1, 0}   18 {0, 0, 1} {1, 1, 0}   15 {0, 0, 2} {1, 1, 0}    6 {1,
     ------------------------------------------------------------------------
                       2                        1                      
          p          - -p         p          - --p         p          +
     0, 0} {1, 1, 0}   3 {1, 0, 1} {1, 1, 0}   24 {1, 0, 2} {1, 1, 0}  
     ------------------------------------------------------------------------
     15                       43                       47                    
     --p         p          + --p         p          + --p         p         
      4 {0, 0, 0} {1, 1, 1}    9 {0, 0, 1} {1, 1, 1}   10 {0, 0, 2} {1, 1, 1}
     ------------------------------------------------------------------------
                               7                       33                    
     - 5p         p          + -p         p          + --p         p         
         {1, 0, 0} {1, 1, 1}   2 {1, 0, 1} {1, 1, 1}    8 {1, 0, 2} {1, 1, 1}
     ------------------------------------------------------------------------
       17                        8                        1                 
     - --p         p          + --p         p          + --p         p      
       20 {0, 0, 0} {1, 1, 2}   45 {0, 0, 1} {1, 1, 2}   10 {0, 0, 2} {1, 1,
     ------------------------------------------------------------------------
          48                       11                       19              
        - --p         p          - --p         p          - --p         p   
     2}    5 {1, 0, 0} {1, 1, 2}   10 {1, 0, 1} {1, 1, 2}   40 {1, 0, 2} {1,
     ------------------------------------------------------------------------
            11                       23                       20       
          , --p         p          + --p         p          - --p      
     1, 2}   6 {0, 0, 0} {0, 0, 1}   10 {0, 0, 1} {0, 1, 0}   21 {0, 0,
     ------------------------------------------------------------------------
                    17                       11                       20    
       p          - --p         p          + --p         p          - --p   
     0} {0, 1, 1}   35 {0, 1, 0} {0, 1, 1}    6 {0, 0, 1} {1, 0, 0}   21 {0,
     ------------------------------------------------------------------------
                       47                       11                      
          p          - --p         p          - --p         p          -
     1, 1} {1, 0, 0}   30 {0, 0, 0} {1, 0, 1}   10 {0, 1, 0} {1, 0, 1}  
     ------------------------------------------------------------------------
     47                       43                       2                    
     --p         p          + --p         p          + -p         p         
     30 {1, 0, 0} {1, 0, 1}   14 {0, 0, 1} {1, 1, 0}   7 {0, 1, 1} {1, 1, 0}
     ------------------------------------------------------------------------
       23                       23                        3                 
     - --p         p          - --p         p          - --p         p      
       70 {1, 0, 1} {1, 1, 0}   30 {0, 0, 0} {1, 1, 1}   10 {0, 1, 0} {1, 1,
     ------------------------------------------------------------------------
          23                       33                        19              
        - --p         p          + --p         p         , - --p         p   
     1}   30 {1, 0, 0} {1, 1, 1}   70 {1, 1, 0} {1, 1, 1}    15 {0, 0, 0} {0,
     ------------------------------------------------------------------------
             4                       10                       29       
           - -p         p          - --p         p          - --p      
     0, 2}   5 {0, 0, 2} {0, 1, 0}    9 {0, 0, 0} {0, 1, 2}   45 {0, 1,
     ------------------------------------------------------------------------
                    19                       10                       1    
       p          - --p         p          - --p         p          - -p   
     0} {0, 1, 2}   15 {0, 0, 2} {1, 0, 0}    9 {0, 1, 2} {1, 0, 0}   3 {0,
     ------------------------------------------------------------------------
                        2                       1                      
          p          + --p         p          - -p         p          -
     0, 0} {1, 0, 2}   15 {0, 1, 0} {1, 0, 2}   3 {1, 0, 0} {1, 0, 2}  
     ------------------------------------------------------------------------
      1                        8                       19                    
     --p         p          + --p         p          + --p         p         
     35 {0, 0, 2} {1, 1, 0}   63 {0, 1, 2} {1, 1, 0}   21 {1, 0, 2} {1, 1, 0}
     ------------------------------------------------------------------------
       23                       22                       23                 
     - --p         p          - --p         p          - --p         p      
       21 {0, 0, 0} {1, 1, 2}   35 {0, 1, 0} {1, 1, 2}   21 {1, 0, 0} {1, 1,
     ------------------------------------------------------------------------
          1                        31                       11              
        + -p         p         , - --p         p          - --p         p   
     2}   7 {1, 1, 0} {1, 1, 2}    10 {0, 0, 1} {0, 0, 2}   35 {0, 0, 2} {0,
     ------------------------------------------------------------------------
             53                       10                        3       
           - --p         p          - --p         p          + --p      
     1, 1}   18 {0, 0, 1} {0, 1, 2}   63 {0, 1, 1} {0, 1, 2}   10 {0, 0,
     ------------------------------------------------------------------------
                    41                       13                       13    
       p          + --p         p          - --p         p          + --p   
     2} {1, 0, 1}   90 {0, 1, 2} {1, 0, 1}    6 {0, 0, 1} {1, 0, 2}   21 {0,
     ------------------------------------------------------------------------
                       37                       1                      
          p          + --p         p          - -p         p          -
     1, 1} {1, 0, 2}   30 {1, 0, 1} {1, 0, 2}   2 {0, 0, 2} {1, 1, 1}  
     ------------------------------------------------------------------------
     31                       13                       41                    
     --p         p          + --p         p          - --p         p         
     90 {0, 1, 2} {1, 1, 1}   30 {1, 0, 2} {1, 1, 1}   14 {0, 0, 1} {1, 1, 2}
     ------------------------------------------------------------------------
       1                       33                       23
     - -p         p          + --p         p          - --p         p      
       7 {0, 1, 1} {1, 1, 2}   70 {1, 0, 1} {1, 1, 2}   70 {1, 1, 1} {1, 1,
     ------------------------------------------------------------------------
       )
     2}

o4 : Ideal of PR

See also

Ways to use spohnIdeal:

  • spohnIdeal(Ring,List) (missing documentation)

For the programmer

The object spohnIdeal is a method function.


The source of this document is in /build/reproducible-path/macaulay2-1.25.05+ds/M2/Macaulay2/packages/GameTheory.m2:1695:0.